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Home MATHÉMATIQUES SECONDE chapitre 7: équations de droites séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoir corrigé sur les équations cartésiennes(réf 0396)

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Contenu

Déterminer une équation cartésienne

Équation cartésienne d’une parallèle

Intersection de deux droites

Calculs de distances

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Fiche méthode équations cartésiennes (réf 0401)
méthode

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 2 difficulté moyenne | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (10 points)
QCM: Une seule réponse est correcte. Ne rien écrire sur le sujet et répondre sur votre copie en notant le numéro de la question et la bonne réponse identifiée par a, b ou c puis \textbf{justifier la réponse donnée}
  1. La droite $(d)$ d'équation cartésienne $2x+4y+2=0$ a pour coefficient directeur
    a) $-2~~~~~~$b) $\dfrac{1}{2}~~~~~~~$c) $\dfrac{-1}{2}$
    Rappel cours

    Équation réduite
    Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation (appelée équation réduite) de la forme $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.$a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine(ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
    L'accroissement $\Delta_y$ des ordonnées est proportionnel à l'accroissement $\Delta_x$ des abscisses.

    Aide

    On peut isoler $y$ pour obtenir l'équation réduite

    Solution

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  2. La droite d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ a pour vecteur directeur
    a) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\-3\end{pmatrix}~~~~~~$b) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}~~~~~~~$c) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\3\end{pmatrix}$
    Rappel cours

    Vecteur directeur d'une droite
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$ si il existe deux points $A$ et $B$ de $(d)$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$

    Un vecteur directeur de $(d)$ indique la direction de la droite $(d)$.
    Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$, tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

    Solution

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  3. La droite d'équation cartésienne $2x-y+6=0$ coupe l'axe des abscisses en
    a) $A(0;6)~~~~~~$b) $A(3;0)~~~~~~~$c) $A(-3;0)$
    Aide

    Un point de l'axe des abscisses a pour ordonnée $0$

    Solution

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  4. La droite d'équation cartésienne $3x-y+3=0$ passe par
    a) $A(2;0)~~~~~~$b) $A(0;-3)~~~~~~~$c) $A(-1;0)$
    Aide

    Les coordonnées de $A$ doivent vérifier l'équation donnée

    Solution

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  5. La droite $(d')$ parallèle à $(d)$ d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ et passant par $A(1;3)$ a pour équation
    a) $3x-y+1=0~~~~~~$b) $3x+y-6=0~~~~~~~$c) $3x-y=0$
    Aide

    Un vecteur directeur permet de déterminer les coefficients $a$ et $b$ dans $ax+by+c=0$ et les coordonnées de $A$ permettent de trouver $c$

    Solution

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  6. Les droites $(d)$ d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ et $(d')$ d'équation cartésienne $-6x-3y+5=0$ sont
    a) parallèles$~~~~~~$b) sécantes$~~~~~~~$c) on ne peut pas le savoir
    Rappel cours

    Vecteurs colinéaires
    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    Remarque
    Deux vecteurs colinéaires ont donc la même direction

    Aide

    Il faut déterminer si les vecteurs directeurs sont colinéaires

    Solution

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  7. La droite d'équation cartésienne $3x-5=0$
    a)est parallèle à l'axe des abscisses$~~~~~~$b)est parallèle à l'axe des ordonnées$~~~~~~~$c)n'est parrallèle à aucun des deux axes du repère
    Aide

    Un vecteur directeur de la droite doitêtre colinéaire au vecteur $\overrightarrow{j}\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$

    Solution

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  8. La droite passant par $A(2;1)$ et $B(-1;5)$ a pour équation cartésienne
    a) $4x-3y-5=0~~~~~~$b) $4x+3y-11=0~~~~~~~$c) $-3x+4y+2=0$
    Solution

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Exercice 2 (10 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points $A(1;1)$, $B(-2;4)$, $C(-8;-4)$ et la droite $(d)$ d'équation $4x-3y-1=0$
  1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et tracer $(d)$.
    Solution

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  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle $(d')$ à $(AB)$ passant par $C$.
    Tracer $(d')$.
    Aide

    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d')$

    Solution

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  3. Résoudre le système d'équations $\begin{cases} 4x-3y-5=0\\ x+y+12=0 \end{cases}$
    En déduire les coordonnées du point d'intersection $D$ de $(d)$ et $(d')$.
    Solution

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  4. Les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles?
    Rappel cours

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix }x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
    Vecteurs colinéaires
    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    Remarque
    Deux vecteurs colinéaires ont donc la même direction

    Aide

    Il faut déterminer sir les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont colinéaires

    Solution

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  5. Déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
    Solution

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  6. $ABCD$ est-il un rectangle?
    Rappel cours

    Distance dans un repère
    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$

    Solution

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