Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

Ecrire une équation d'inconnue $r$ en sachant que de $u_1$ à $u_8$, on ajoute 7 fois la raison.
Pour déterminer $u_0$, on utilise la relation $u_1=u_0+r$ ou bien $u_8=u_0+8r$

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$
donc $u_{8}=u_{1}+(8-1)r$
$u_{8}=u_{1}+7r \Longleftrightarrow 23=2+7r$
$\phantom{u_{8}=u_{1}+7r} \Longleftrightarrow 21=7r$
$\phantom{u_{8}=u_{1}+7r} \Longleftrightarrow r=3$
$r=3$
$u_1=u_0+r \Longleftrightarrow 2=u_0+3$
$\phantom{u_1=u_0+r} \Longleftrightarrow -1=u_0$
On a donc $u_n=u_0+nr=-1+3n$.
$(u_n)$ est a pour premier terme $u_0=-1$, et pour raison $r=3$ et $u_n=-1+3n$.

Ecrire une équation d'inconnue $r$ en sachant que de $u_7$ à $u_{15}$, on ajoute $15-7=8$ fois la raison.
Pour déterminer $u_0$, on utilise la relation $u_7=u_0+7r$ ou bien $u_{15}=u_0+15r$

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$
donc $u_{15}=u_{7}+(15-7)r$
$u_{15}=u_{7}+8r \Longleftrightarrow -27=5+8r$
$\phantom{u_{15}=u_{7}+8r} \Longleftrightarrow -32=8r$
$\phantom{u_{15}=u_{7}+8r} \Longleftrightarrow -4=r$
$r=-4$
$u_7=u_0+7r \Longleftrightarrow 5=u_0+7\times (-4)$
$\phantom{u_7=u_0+7r} \Longleftrightarrow 5=u_0-28$
$\phantom{u_7=u_0+7r} \Longleftrightarrow 33=u_0$
On a donc $u_n=u_0+nr=33-4n$.
$(u_n)$ a pour premier terme $u_0=33$ et pour raison $r=-4$ et $u_n=33-4n$.

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$
donc $u_{9}=u_{5}+(9-5)r$
$u_{9}=u_{5}+4r \Longleftrightarrow 12=10+4r$
$\phantom{u_{9}=u_{5}+4r} \Longleftrightarrow 2=4r$
$\phantom{u_{9}=u_{5}+4r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{2}{4}$
$\phantom{u_{9}=u_{5}+4r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{1}{2}$
$r=\dfrac{1}{2}$
$u_5=u_0+5r \Longleftrightarrow 10=u_0+5\times \dfrac{1}{2}$
$\phantom{u_5=u_0+5r} \Longleftrightarrow 10=u_0+\dfrac{5}{2}$
$\phantom{u_5=u_0+5r} \Longleftrightarrow 10-\dfrac{5}{2}=u_0$
$\phantom{u_5=u_0+5r} \Longleftrightarrow \dfrac{15}{2}=u_0$
On a donc $u_n=u_0+nr=\dfrac{15}{2}+\dfrac{1}{2}\times n=\dfrac{15+n}{2}$.
$(u_n)$ a pour premier terme $u_0=\dfrac{15}{2}$ et pour raison $r=\dfrac{1}{2}$ et $u_n=\dfrac{15+n}{2}$.