Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 3: suites séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Suite définie par une récurrence double (d’après BAC) (réf 0634)

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Suite définie par une récurrence double

Suite auxiliaire arithmétique

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Vidéo de l’exercice

On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_{0} = - 1$, $u_{1} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$.

Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

Rappel cours

Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Aide

On peut vérifier que la somme de deux termes consécutifs n'est pas constante en utilisant $u_0$, $u_1$ et $u_2$
On peut ensuite vérifier que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant

Solution

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On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
1. Calculer $v_{0}$.
  
  Aide
  
  On prend $n=0$ dans $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
  
  Solution
  
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2. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
  
  Aide
  
  Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ pour avoir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n=q \left( u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right)$
  
  Solution
  
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3. En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
  
  Rappel cours
  
  Suite géométrique
  Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
  $q$ est la raison de la suite.
  Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
  
  Solution
  
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4. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
  
  Rappel cours
  
  Forme explicite d'une suite géométrique
  Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0\times q^n$
  et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
  
  Solution
  
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On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$: $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
1. Calculer $w_{0}$.
  
  Aide
  
  Il faut prendre $n=0$ dans la relation $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
  
  Solution
  
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2. En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$, exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
  
  Aide
  
  $w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$
  
  Solution
  
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3. En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
  
  Aide
  
  On a $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
  
  Solution
  
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4. Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
  
  Rappel cours
  
  Suite arithmétique
  Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
  $r$ est la raison de la suite.
  On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$ Forme explicite d'une suite arithmétique
  Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
  Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
  
  Solution
  
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Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}$.

Aide

0 On a $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$ et les formes explicites des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont connues

Solution

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