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Contenu
Encadrement d’une fonction
Raisonnement par récurrence
Etude des variations et limite
Algorithme de recherche d’un seuil
Ressources associées et exercices semblables
Suite définie par récurrence (réf 0961)
exercice
Suites définies par récurrence (d’après BAC ) (réf 0963)
exercice
Suite définie par récurrence et suite auxiliaire arithmétique (réf 0964)
exercice
$u_{0} = 3$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right)$
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n$ : $ u_{n} > 0$.
- On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
$f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{7}{x}\right)$
Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a$u_{n} \geq \sqrt{7}$.Rappel cours
Dérivées usuelles
Aide
Il faut étudier les variations de $f$ pour déterminer(s'il existe) son minimum.
On peut écrire que $f(x)=\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\times \dfrac{1}{x}$
Il faut donc dériver $x$ et $\dfrac{1}{x}$
Calculer le minimum de $f$ et on peut remarquer que $u_{n+1}=f(u_n)$Solution
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- Soit $n$ un entier naturel quelconque.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$.Solution
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Infos abonnements - Pourquoi peut-on en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente ?
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteAide
Il faut déterminer les les variations de $(u_n)$ et un minorant de la suite $(u_n)$ en utilisant les questions précédentes
Solution
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Infos abonnements - On admet que la limite $\ell$ de cette suite est telle que $f(\ell)=\ell$
Déterminer $\ell$.Aide
Il faut donc résoudre l'équation $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)$.
Solution
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- Soit $n$ un entier naturel quelconque.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$.
Aide
On peut développer
Solution
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Infos abonnements - On définit la suite $\left(d_{n}\right)$ par :
$d_{0} =1 $ et pour tout entier naturel $ n$, $d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d^2_{n}$- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} - \sqrt{7} \leq d_{n}$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Aide
On pose $P_n$ la propriété $u_{n} - \sqrt{7} \leq d_{n}$
Vérifier que $P_0$ est vraie.
On veut comparer $u_{n+1} - \sqrt{7}$ et $d_{n+1}$ et on peut utiliser la question précédente.Solution
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Infos abonnements - Voici un algorithme :
En entrant la valeur 9, l'algorithme affiche le nombre 5.
Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_{5}$ ?
Justifier que $u_{5}$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près.Aide
Au départ on a $d=d_0$ et $n=0$.
Identifier le calcul effectué à chaque passage dans la boucle TANT QUESolution
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- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} - \sqrt{7} \leq d_{n}$