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Contenu
Opérations sur les congruences
Congruence de 3^37-1 modulo 20
Équations dans ZxZ et utilisation des congruences
Liste des restes dans une division euclidienne
Ressources associées et exercices semblables
Trois exercices bilan sur les congruences (réf 1500)
exercice
Équations dans Z avec les congruences (réf 1504)
exercice
-
Montrer que si $n$ est pair alors $n^3+2n+1$ est impair.
Aide
Un entier pair peut s'écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ entier naturel
Solution
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Infos abonnements - On suppose $n$ impair.
- Justifier que $n\equiv 1$ $(2)$
Rappel cours
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$Aide
On a $n=2k+1$
Solution
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Infos abonnements - En déduire les congruences de $n^3$ et $2n$ modulo 2
puis que $N$ est pair.
Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$Solution
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- Justifier que $n\equiv 1$ $(2)$
- Montrer que $3^4\equiv 1$ $(20)$.
Solution
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Infos abonnements - Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $37$ par $4$.
En déduire le reste de la division euclidienne de $3^{37}-1$ par $20$Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$Aide
$3^4\equiv 1$ ($20$) et on a $37=4\times 9+1$
Solution
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- Montrer que $7\equiv 2$ $(5)$ et que $4\equiv -1$ $(5)$
Rappel cours
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$Solution
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Infos abonnements - En déduire $7x^2+4y^2\equiv 2x^2-y^2$ $(5)$ puis que $2x^2\equiv y^2$ $(5)$
Solution
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Infos abonnements - Sans justifier, compléter les tableaux ci-dessous:
Solution
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Infos abonnements - On a $2x^2\equiv y^2$ $(5)$.
En déduire que $x^2$et $y^2$ sont des multiples de $5$.Solution
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Infos abonnements - Montrer alors que $7x^2+4y^2=25(7k^2+4k^2)$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et en déduire que l'équation $E$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$Aide
On peut écrire $x=5k$ et $y=5k'$
Solution
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- Compléter
$2^0\equiv ....$ $(5)~~~~~~2^1\equiv ....$
$(5)~~~~~~2^2\equiv ....$ $(5)$
$2^3\equiv ....$ $(5)~~~~~~2^4\equiv ....$ $(5)$Rappel cours
Intersection et réunion de deux intervalles
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
$I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
$I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
alors $I\cap J=[-1;2[$
et $I\cup J=]-5;4]$
Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.Aide
On peut chercher les restes de $2^0$, $2^1$...dans lña division euclidienne par $5$
Solution
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Infos abonnements - On pose $n=4q+r$ où $q$ et $r$ sont le quotient et reste de la division euclidienne de $n$ par $4$
Montrer que $2^n\equiv 2^r$ $(5)$Aide
$2^n=2^{4q+r}= (2^4)^q\times 2^r$
Solution
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Infos abonnements - Compléter alors le tableau:
Solution
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Infos abonnements - En déduire les entiers naturels $n$ tels que $2^n-1$ soit divisible par $5$
Aide
$2^n-1$ divisible par $5$ donc $2^n-1\equiv 0$ ($5$) donc $2^n\equiv 1$ ($5$) puis utiliser le tableau de la question 1
Solution
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