Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 6 calcul intégral Séquence 4 Valeur moyenne et calculs d'aires

Aire et intégrale avec fonction exponentielle (réf 1215)

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Primitive d’une fonction avec exp(u)

Aire sous la courbe et calcul d’intégrale avec exponentielle

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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère dont les unités sont 3 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Justifier que $f(x) >0$ pour tout réel $x$.

Aide

Rappel: $e^x >0$ pour tout réel $x$.

Solution

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Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, l'aire du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

Rappel cours

Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

Aide

Il faut chercher une primitive de $f$ et notamment de $e^{3x}$
On a $\left(e^{3x}\right)'=3e^{3x}$

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