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Contenu
Calcul des coordonnées d’un vecteur de l’espace
Vecteurs orthogonaux et produit scalaire
Calculs de distances dans un repère de l’espace
Ressources associées et exercices semblables
Calcul d’un angle avec le produit scalaire dans un repère de l’espace (réf 1266)
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Nature d’un triangle dans un repère de l’espace (réf 1267)
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Utilisation d’un repère dans un cube pour calculer l’angle entre deux droites (réf 1270)
exercice
Vidéo de l’exercice
- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ puis $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ et en déduire la nature de $ABCD$.
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Solution
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Infos abonnements - Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$.
Rappel cours
Coordonnées du milieu
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$Solution
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Infos abonnements - $S\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{-17}{10};0\right)$, calculer $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{AC}$ puis $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{BD}$.
Que représente alors $[SI]$ pour la pyramide $ABCDS$?Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$ Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Aide
Le projeté orthogonal de $S$ sur $(AC)$ est le centre du rectangle $ABCD$...
Solution
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Infos abonnements - Calculer alors le volume de cette pyramide.
Rappel cours
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$Aide
Le volume d'une pyramide est $V=\dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}$
Solution
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