Justifier que $\displaystyle \int_0^n e^{-\dfrac{t}{n}}ln(1+t)dt\geq 0$

Rappel cours

Comparaison d'intégrale
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $[a;b]$
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx\leq \displaystyle \int_a^b g(x)dx$

Aide

Déterminer le signe de $e^{-\dfrac{t}{n}}ln(1+t)$ sur $[0;+\infty[$

Solution

Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
En utilisant une intégration par parties, montrer que $u_n\geq \dfrac{1}{e}ln(n+1)$

Rappel cours

Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$

Aide

On pose $u(t)=e^{\dfrac{-t}{n}}$ et $v'(t)=\dfrac{1}{1+t}$

Solution

Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
En déduire la limite de la suite $(u_n)$

Rappel cours

Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$

Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$
Intervalle de $\mathbb{R}$
Notation $[a;b]$ signifie que l'intervalle contient tous les nombres réels compris entre $a$ et $b$, $a$ et $b$ compris.
$x\in [a;b]$ correspond à $a\leq x \leq b$
Si le crochet est ouvert, par exemple $]a;b[$ alors on a $a< x < b$ ($a$ et $b$ n'appartiennent pas à l'intervalle $]a;b[$.
Exemple $x\in ]-2;4[$ signifie $-2 < x <4$.
Si on a $x> 4$ alors on note $]4;+\infty[$
et si on a $x < 4$ alors on note $]-\infty;4[$

Solution

Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements