Envoyez votre messageAMÉRIQUE DU NORD mai 2025
Quatre exercices permettant de revoir une grande partie du programme avec deux exercices (ex 3 et ex4) un peu plus difficiles que d’autres sujets avec un contenu similaire.
Le premier exercice sur les probabilités est assez classique. Attention, l’utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebitchev qui pose souvent des problèmes.
L’ex2 sur les suites est également assez classique avec une démonstration par récurrence.
L’ex3 est un vrai faux à justifier avec des calculs assez longs pour bien rédiger.
Et l’ex4 sur les équations différentielles et étude de fonction avec exponentielle puis une primitive avec un enchaînement sur un calcul d’aire (là aussi, attention à la rédaction pour faire le plein de points).
Chapitre probabilités
- Probabilités
- Loi binomiale
- Inégalité de Bienaymé-Tchebitchev
Chapitre suites
- Suites
- Démonstration par récurrence
- Limite d’une suite
- Algorithme
Chapitre géométrie dans l’espace
- Représentation paramétrique d’une droite
- Équation d’un plan
- Produit scalaire
- Projeté orthogonal sur un plan et distance point-plan
Chapitre fonctions et équations différentielles
- Équation différentielle
- Étude de fonction avec exponentielle
- Primitives
- Intégrale et calcul d’aire
Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :
- 25% des connexions transitent via le serveur A;
- 15% des connexions transitent via le serveur B;
- le reste des connexions s'effectue via le serveur C.
Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).
On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs.
L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :
- 90% des connexions via le serveur A sont stables;
- 80% des connexions via le serveur B sont stables;
- 85% des connexions via le serveur C sont stables.
Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.
Partie A
On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise. On considère les évènements suivants :
A: "La connexion s'est effectuée via le serveur A";
B: " La connexion s'est effectuée via le serveur B";
C: " La connexion s'est effectuée via le serveur C";
S: " La connexion est stable".
- Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.
Aide
Il faut identifier les probabilités conditionnelles dans l'énoncé pour compléter l'arbre
Par exemple 90% des connexions via le serveur A sont stables se note $p_A(S)=0,9$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à $0,12$.
Rappel cours
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Calculer la probabilité $p(C\cap \overline{S})$
et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Démontrer que la probabilité de l’évènement S est $p(S) = 0,855$.
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On suppose désormais que la connexion est stable.
Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.
On donnera la valeur arrondie au millième.Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On veut calculer $p_S(B)$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Partie B
D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à $0,145$.
- Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard.
On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l'entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.- On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Rappel cours
Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. %l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables. On donnera la valeur arrondie au millième.
Aide
On veut calculer $p(X \leq 8)$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
- Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_n$ la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $0,145$.
- Donner l'expression en fonction de $n$ de la de la probabilité $p_n$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
Aide
On veut calculer $p(X_n\geq 1)=1-p(X_n=0)$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la
probabilité $p_n$ est supérieure ou égale à $0,99$.
Aide
On isole $0,855^n$ puis on utilise le logarithme pour isoler $n$ puisque $ln(0,855^n)=nln(0,855)$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- Donner l'expression en fonction de $n$ de la de la probabilité $p_n$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
- On s'intéresse à la variable aléatoire $F_n$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
On a donc $F_n =\dfrac{X_n}{n}$ où $X_n$ est la variable aléatoire définie à la question 2.- Calculer l'espérance $E (F_n)$.
On admet que $V (F_n) =\dfrac{0,123975}{n}$Rappel cours
Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On admet que $V\left(F_{n}\right)=\dfrac{0,123975}{n}$.
Vérifier que $p\left(\left|F_{n}-0,145\right| \geq 0,1\right)\leq \dfrac{12,5}{n}$Rappel cours
Inégalité de Bienaymé-Tchebitchev
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X)=\mu$ et de variance $V(X)=V$.
Pour tout réel $\delta >0$ on a $p\left(|X-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{\delta^2}$Aide
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=0,1$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000} = 0,3$.
Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?Aide
On utilise la question précédente avec $n=1000$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- Calculer l'espérance $E (F_n)$.
On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.
- Calculer le terme $u_{1}$.
Aide
On peut remplacer $n$ par $0$ dans la relation de récurrence
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$, par $a_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}-1}$
On admet que la suite $\left(a_{n}\right)$ est bien définie.- Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3 a_{n}-1$.
Aide
a_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $a_{n} \geq 3 n-1$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
Rappel cours
Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$Aide
Il faut déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}3n-1$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION- On souhaite étudier la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Aide
La limite du quotient est indéterminée puisque $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n-1=+\infty$
Il faut factoriser le numérateur et le dénominateur par $a_n$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
On considère le programme suivant écrit en langage Python :
- Interpréter les valeurs $n$ et \texttt{u}$u$ renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p=0,001$.
Aide
Parcourir le tableau de valeur de la suite $(u_n)$ sur la calculatrice
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- On souhaite étudier la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$.
On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
$\begin{cases} x=3 - 2 t \\ y=-1 \\ z=2 - 6 t \end{cases}$ où $t \in \mathbb{R}$
On considère également les points suivants :
$A(3~;~-3~;~-2)$, $B(5~;~-4~;~-1)$, $C$ le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2
et $H$ le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + 3z -7 = 0$
Affirmation 1: La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.
Rappel cours
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique
$ \begin{cases}
x=x_A+tu_1\\
y=y_A+tu_2\\
z=z_A+tu_3
\end{cases}$
Position relative de deux droites
- Les droites $D$ et $\Delta$
Les droites $D$ et $\Delta$
ne sont pas coplanaires
Aucun plan ne contient les deux droites
Les droites $D$ et $\Delta$
Les droites $D$ et $\Delta$
ne sont pas coplanaires Les deux droites sont sécantes ou parallèles
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Affirmation 2: Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne:
$x + 3z + 3= 0$
Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}$
Aide
Il faut vérifier qu'un vecteur normalau plan est colinéaire à un vecteur directeur de $(d)$ et que $A$ appartient au plan
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Affirmation 3: Une mesure, exprimée en radians, de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
Aide
Il faut calculer les coordonnées des vacteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis $AB$ et $AC$
On a alors $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos\left(\widehat{BAC}\right)$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Affirmation 4: La distance $BH$ est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g’$.
On précise également que :
- La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~1)$.
-La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2~;~0)$ et $(1~;~0)$.
- En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.
Aide
Quand une fonction est décroissante sur un intervalle $I$ alors sa dérivée est négative sur $I$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Justifier que l'équation réduite de la tangente à la
courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x + 1$.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Partie B
On considère $(E)$ l'équation différentielle $y+y’=(2x + 3) e^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
- Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x)=\left(x^{2}+3 x\right) e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
Il faut vérifier que $f_0(x)+f'_0(x)=(2x+3)e^{-x}$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right): y+ y'= 0$.
Rappel cours
Équations de la forme $y'=ay$ avec $a $ réel non nul (ou bien $y'-ay=0$)
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ ($a\neq 0$) sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $y(x)=Ke^{ax}$ avec $K$ constante réelle.Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
Aide
Les solutions sont de la forme $x \longmapsto f(x)+g(x)$ avec $f$ solution de l'équation homogène associée
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.Aide
On utilise $g(0)=1$ pour déterminer la valeur de la constante $C$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.
Rappel cours
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Partie C
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) e^{-x}$
- Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.
Rappel cours
Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$Aide
On a $f(x)=\dfrac{x^{2}}{e^x}+\dfrac{3 x}{e^x}+\dfrac{2}{e^{x}}
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f’(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) e^{-x}$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer le signe de la fonction dérivée $f’$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f’(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) e^{-x}$.
- Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
Aide
$e^{-x} > 0$ donc $f(x)$ est du signe du polynôme du second degré $x^2 + 3x + 2$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^{2}-5 x-7\right) e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.
Soit $\alpha$ un nombre réel positif.
Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.Rappel cours
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.