Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 4 fonction ln Séquence 2 Dérivée et variations

Variations d’une fonction avec ln(x) (réf 1101)

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Contenu

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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{ln(x)}{x}$ et on note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

$g$ est définie sur $[1;+\infty[$ par $g(x)=x^2-1+ln(x)$.
Montrer que $g$ est positive sur $[1;+\infty[$

Rappel cours

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

Aide

Il faut étudier le sens de variation de $g$

Solution

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Montrer que pour tout $x\in [1;+\infty[$ on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x$ et $f(x)=x-\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Solution

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En déduire les variations de $f$.

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