Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ n'est pas constant.
On peut aussi calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et vérifier que les différences $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ ne sont pas égales.

Première méthode
$u_n=n^2+1$ donc $u_{n+1}=(n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2$
$u_{n+1}-u_n=n^2+2n+2-(n^2+1)=n^2+2n+2-n^2-1=2n+1$
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante (dépend de $n$)
donc $(u_n)$ n'est pas une suite arithmétique.

Deuxième méthode
$u_n=n^2+1$ donc $u_0=0^2+1=1$, $u_1=1^2+1=2$ et $u_2=2^2+1=5$
$u_1-u_0=2-1= 1$ et $u_2-u_1=5-2=3$
donc $u_1-u_0\neq u_2-u_1$
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante (dépend de $n$)
donc $(u_n)$ n'est pas une suite arithmétique.
si on a $u_1-u_0= u_2-u_1$, on ne peut pas conclure que la suite $(u_n)$ est arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs doit être constante pour tout entier naturel $n$
et non pas seulement pour les trois premiers termes

On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ est constant et égal à la raison.
On peut aussi reconnaître la forme explicite d'une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$

Première méthode
$u_n=-3n+1$ donc $u_{n+1}=-3(n+1)+1=-3n-3+1=-3n-2$
$u_{n+1}-u_n=-3n-2-(-3n+1)=-3n-2+3n-1=-3$
La différence entre deux termes consécutifs est constante
donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$.

Deuxième méthode
$u_n=-3n+1=1-3n=u_0+nr$ avec $u_0=1$ et $r=-3$
donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$.

On peut vérifier que $u_{n+1}-u_n$ est constant et égal à la raison.
On peut aussi reconnaître la forme explicite d'une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$

Première méthode
$u_n=\dfrac{2-3n}{5}$
$u_{n+1}=\dfrac{2-3(n+1)}{5}$
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{2-3n-3}{5}$
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{-1-3n}{5}$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1-3n}{5}-\dfrac{2-3n}{5}$ signe $-$ devant la barre de fraction
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1-3n-2+3n}{5}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-3}{5}$
La différence entre deux termes consécutifs est constante
donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\dfrac{-3}{5}$.

Deuxième méthode
$u_n=\dfrac{2-3n}{5}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3n}{5}$
$u_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3n}{5}$ avec $u_0=\dfrac{2}{5}$ et $r=\dfrac{-3}{5}$
donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\dfrac{-3}{5}$.