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Contenu
Déterminer une équation cartésienne
Équation cartésienne d’une parallèle
Intersection de deux droites
Calculs de distances
Ressources associées et exercices semblables
exercice bilan équations cartésiennes (réf 0385)
exercice
- La droite $(d)$ d'équation cartésienne $2x+4y+2=0$ a pour coefficient directeur
a) $-2~~~~~~$b) $\dfrac{1}{2}~~~~~~~$c) $\dfrac{-1}{2}$
Rappel cours
Équation réduite
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation (appelée équation réduite) de la forme $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.$a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine(ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
L'accroissement $\Delta_y$ des ordonnées est proportionnel à l'accroissement $\Delta_x$ des abscisses.
Aide
On peut isoler $y$ pour obtenir l'équation réduite
Solution
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Infos abonnements - La droite d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ a pour vecteur directeur
a) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\-3\end{pmatrix}~~~~~~$b) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}~~~~~~~$c) $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\3\end{pmatrix}$Rappel cours
Vecteur directeur d'une droite
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$ si il existe deux points $A$ et $B$ de $(d)$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$
Un vecteur directeur de $(d)$ indique la direction de la droite $(d)$.
Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$, tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.Solution
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Infos abonnements - La droite d'équation cartésienne $2x-y+6=0$ coupe l'axe des abscisses en
a) $A(0;6)~~~~~~$b) $A(3;0)~~~~~~~$c) $A(-3;0)$Aide
Un point de l'axe des abscisses a pour ordonnée $0$
Solution
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Infos abonnements - La droite d'équation cartésienne $3x-y+3=0$ passe par
a) $A(2;0)~~~~~~$b) $A(0;-3)~~~~~~~$c) $A(-1;0)$Aide
Les coordonnées de $A$ doivent vérifier l'équation donnée
Solution
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Infos abonnements - La droite $(d')$ parallèle à $(d)$ d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ et passant par $A(1;3)$ a pour équation
a) $3x-y+1=0~~~~~~$b) $3x+y-6=0~~~~~~~$c) $3x-y=0$Aide
Un vecteur directeur permet de déterminer les coefficients $a$ et $b$ dans $ax+by+c=0$ et les coordonnées de $A$ permettent de trouver $c$
Solution
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Infos abonnements - Les droites $(d)$ d'équation cartésienne $3x-y+2=0$ et $(d')$ d'équation cartésienne $-6x-3y+5=0$ sont
a) parallèles$~~~~~~$b) sécantes$~~~~~~~$c) on ne peut pas le savoirRappel cours
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
Remarque
Deux vecteurs colinéaires ont donc la même directionAide
Il faut déterminer si les vecteurs directeurs sont colinéaires
Solution
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Infos abonnements - La droite d'équation cartésienne $3x-5=0$
a)est parallèle à l'axe des abscisses$~~~~~~$b)est parallèle à l'axe des ordonnées$~~~~~~~$c)n'est parrallèle à aucun des deux axes du repèreAide
Un vecteur directeur de la droite doitêtre colinéaire au vecteur $\overrightarrow{j}\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$
Solution
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Infos abonnements - La droite passant par $A(2;1)$ et $B(-1;5)$ a pour équation cartésienne
a) $4x-3y-5=0~~~~~~$b) $4x+3y-11=0~~~~~~~$c) $-3x+4y+2=0$Solution
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On donne les points $A(1;1)$, $B(-2;4)$, $C(-8;-4)$ et la droite $(d)$ d'équation $4x-3y-1=0$
- Placer les points $A$, $B$, $C$ et tracer $(d)$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle $(d')$ à $(AB)$ passant par $C$.
Tracer $(d')$.Aide
$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d')$
Solution
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Infos abonnements - Résoudre le système d'équations $\begin{cases}
4x-3y-5=0\\
x+y+12=0
\end{cases}$
En déduire les coordonnées du point d'intersection $D$ de $(d)$ et $(d')$.Solution
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Infos abonnements - Les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles?
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix }x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
Remarque
Deux vecteurs colinéaires ont donc la même directionAide
Il faut déterminer sir les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont colinéaires
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
Solution
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Infos abonnements - $ABCD$ est-il un rectangle?
Rappel cours
Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$Solution
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