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Contenu
Repère orthonormé dans un cube
Calcul du produit scalaire dans un repère de l’espace
Calculs de distances
Calcul d’un angle en utilisant le produit scalaire
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Vidéo de l’exercice
$O$ est le centre du cube(voir figure)
Calculer la mesure, arrondie au dixième de degré, de l'angle entre les droites $(AG)$ et $(BH)$
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
Aide
On peut utliser un repère orthonormé dans le cube et on peut utiliser le produit scalaire $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$
Solution
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