On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)+x^2+1$
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

$H$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $H(x)=xln(x)-x$.
Calculer la dérivée $H'$ de $H$.

Rappel cours

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

Aide

On peut poser $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $H(x)=u(x)v(x)-x$

Solution

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En déduire une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.

Rappel cours

Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$

Aide

On a $f(x)=H'(x)+x^2+1$

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En déduire l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ et en donner la valeur arrondie aux dixièmes.

Rappel cours

Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

Aide

Il faut justifier d'abord que $f(x)\geq 0$ sur $[1;e]$
Rappel: $ln(x)>0$ sur $]1;+\infty[$

Solution

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