Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace Séquence 3 produit scalaire dans l'espace

Calcul du volume d’une pyramide dans un repère de l’espace (réf 1268)

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Contenu

Calcul des coordonnées d’un vecteur de l’espace

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Vidéo de l’exercice

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;3;-1)$, $B(2;1;4)$, $C(5;0;3)$ et $D(4;2;-2)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ puis $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ et en déduire la nature de $ABCD$.

Rappel cours

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Solution

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Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$.

Rappel cours

Coordonnées du milieu
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

Solution

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$S\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{-17}{10};0\right)$, calculer $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{AC}$ puis $\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{BD}$.
Que représente alors $[SI]$ pour la pyramide $ABCDS$?

Rappel cours

Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$ Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

Le projeté orthogonal de $S$ sur $(AC)$ est le centre du rectangle $ABCD$...

Solution

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Calculer alors le volume de cette pyramide.

Rappel cours

Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Aide

Le volume d'une pyramide est $V=\dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}$

Solution

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