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Contenu
Arbre de probabilités
Probabilités conditionnelles et totales
Variable aléatoire et espérance
Ressources associées et exercices semblables
Devoir probabilités et variables aléatoires (réf 0898)
devoir
Devoir probabilités, arbre, loi de probabilité et espérance (réf 0899)
devoir
Fiche méthodes calculs de probabilités (réf 902)
méthode
Aie mémoire probabilités et variables aléatoires (réf 0903)
mémo
15% sont considérés comme neufs ;
45% sont considérés comme récents ;
les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que chaque jour:
5% des ordinateurs neufs sont défaillants ;
10% des ordinateurs récents sont défaillants ;
20% des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les événements suivants :
-$N$ : " L'ordinateur est neuf " ;
-$R$ : " L'ordinateur est récent " ;
-$A$ : " L'ordinateur est ancien " ;
D : " L'ordinateur est défaillant " ;
$\overline{D}$: l'événement contraire de D.
Pour tout l'exercice, on donnera les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire.
- En utilisant les données de l'énoncé (sans calculs), traduire les 6 données de l'énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.
Solution
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Infos abonnements - Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Aide
Placer les probabilités non conditionnelles au premier nievau de l'arbre, soit $p(R)$ et $p(A)$
Solution
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Infos abonnements - Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
Rappel cours
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$Aide
La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant se note $p(N\cap D)$.
Solution
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Infos abonnements - Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
Il faut calculer $p(D)$ en utilisant la formule des probabilités totales et/ou l'arbre en identifiant les parcours menant à l'événement $D$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant.
Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On peut écrire $p(A\cap D)=p(D)p_D(A)$
Solution
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Infos abonnements
Un restaurateur propose trois formules à midi :
-Formule $A$ : Plat du jour / Dessert / Café
-Formule $B$ : Entrée / Plat du jour / Dessert / Café
-Formule $C$ : Entrée / Plat du jour / Fromage / Dessert / Café
Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.
Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.
On sait aussi que :
-Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
-Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
-Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
Un client se présente au restaurant pour le repas de midi. On considère les évènements suivants :
-$A$ : " le client choisit la formule $A$ "
-$B$ : " le client choisit la formule $B$ "
-$C$ : " le client choisit la formule $C$ "
-$V$ : " le client commande du vin "
Les probabilités demandées seront arrondies, si c'est nécessaire, au centième.
- Calculer $p(C)$.
Aide
$p(A)+p(B)+p(C)=1$
Solution
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Infos abonnements - Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $p(V)=0,45$.
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
$p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V)$
Solution
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Infos abonnements - Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.
Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On veut calculer $p_V(A)$
Solution
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Infos abonnements - La formule $A$ coûte 8 euros, la formule $B$ coûte 12 euros et la formule $C$ coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros.
On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.
Déterminer la loi de probabilité de $D$.Aide
Pour chaque parcours sur l'arbre, identifier la dépense correspondante et calculer sa probabilité.
Solution
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Infos abonnements - Calculer la dépense moyenne par client en euro.
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Aide
Il faut calculer l'espérance de $D$
Solution
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