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Équations différentielles y’=ay et y’=ay+b vérifiant une condition donnée
Exercice BAC 2024 métropole
Ressources associées et exercices semblables
Équation différentielle y’=ay et algorithme python (réf 1171)
exercice
- $y'=-y$
Rappel cours
Solutions de $y'=ay$ avec $a$ réel non nul
Les solutions de $y'=ay$ sont de la forme $x\mapsto Ke^{ax}$ avec $K$ constante réelleSolution
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Infos abonnements - $4y'-y=0$
Aide
On peut d'abord isoler $y'$
Solution
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Infos abonnements - $2y'+4y=1$
Rappel cours
Solutions de $y'=ay+b$ avec $a$ réel non nul
Les solutions de $y'=ay+b$ sont de la forme $x\mapsto Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $K$ constante réelleAide
On peut d'abord isoler $y'$
Solution
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Infos abonnements
- Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{6}{1+5e^{-x}}$ définie sur $\mathbb{R}$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Rappel cours
Dérivées
$(e^u)'=u'e^u$ avec $u$ dérivable et $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ avec $v$ dérivable non nulleAide
On pose $v(x)=1+5e^{-x}$ et on a $f(x)=6\times \dfrac{1}{v(x)}$
Il faut calculer $f'(x)$ puis $f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f(x)\right)^2$Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac{1}{6}$.
Rappel cours
Solutions de $y'=ay+b$ avec $a$ réel non nul
Les solutions de $y'=ay+b$ sont de la forme $x\mapsto Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $K$ constante réelleSolution
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Infos abonnements - On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui ne s'annule pas.
On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$.
On admet que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.- Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac{1}{6} y^2$.
Rappel cours
Dérivée de $\dfrac{1}{v}$
$v$ est dérivable et non nulle sur $I$ alors $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$Aide
On a $h'(x) = - h(x) + \dfrac{1}{6}$ et $h'(x)=\dfrac{-g'(x)}{(g(x))^2}$
Il faut vérifier que $g'(x) = g(x) - \dfrac{1}{6} (g(x))^2$.Solution
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Infos abonnements - Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6me^{-x}}$.
Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y'= y - \dfrac{1}{6} y^2$.Aide
Utiliser la fonction $h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)}$
Solution
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Infos abonnements
- Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac{1}{6} y^2$.