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Contenu
Algorithme Python
Équation diophantienne
Recherche des solutions respectant une contrainte sur x et y
Ressources associées et exercices semblables
PGCD, congruences et suites, exercice ancien BAC S (réf 1595)
exercice
- Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant $-5\leq x\leq 10$ et $-5\leq y\leq 10$.
Solution
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Donner une solution particulière de l'équation (E).
Aide
Tester avec des entiers simples compris entre 0 et 3
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INSCRIPTION - Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Rappel cours
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Aide
On a donc $7x-3y=7\times 1-3\times 2$
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $E$ tels que $-5\leq x\leq 10$
et $-5\leq y\leq 10$.
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Donner une solution particulière de l'équation (E).