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Contenu
Étude d’une fonction avec ln(x)
Théorème des valeurs intermédiaires
Étude de la convexité
Ressources associées et exercices semblables
Étude des variations, limites et convexité d’une fonction avec ln(x) (réf 1124)
exercice
Étude d’une fonction composée avec ln (type BAC) (réf 1125)
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Lectures graphiques et étude d’une fonction composée avec ln (ex BAC) (réf 1126)
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Suite définie avec la fonction ln (ex BAC) (réf 1127)
exercice
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
- Déterminer les limites de de la fonction $f$ en $+\infty$ puis en $0^+$.
Rappel cours
Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$Aide
On peut chercher la limite de $x^2$ et de $ln(x)$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.
Rappel cours
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Aide
On peut dériver "terme à terme" soit $x^2$ et $ln(x)$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire que l'équation $ln(x)=-x^2$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$ et en donner un encadrement d'amplitude 0,01.
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Aide
$ln(x)=-x^2 \Longleftrightarrow x^2+ln(x)=0$
Il faut utiliser les variations de $f$ et ses limites pour appliquer le théorème des valeurs intermédiairesSolution
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INSCRIPTION - Étudier la convexité de $f$.
Rappel cours
Dérivées usuelles
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveSolution
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INSCRIPTION