Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits.
Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : "niveau facile", "niveau moyen" et "niveau difficile".
Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :
20% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
70% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
10% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.
Il s'avère que, d'une année à l'autre :
parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40% restent à ce niveau et 60% passent au niveau B,
parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70% restent à ce niveau et 20% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau~B.

On note :
- A l'état "l'adhérent a choisi le niveau A ",
- B l'état "l'adhérent a choisi le niveau B",
- C l'état "l'adhérent a choisi le niveau C".
Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\quad c_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$.
Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.
On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
   Rappel cours

   Graphe probabiliste
   Un graphe probabiliste est un graphe pondéré et la somme des coefficients des arêtes partant d'un sommet est égale à 1.

   Solution

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2. Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
   $M = \begin{pmatrix} \cdots &\cdots &0\\ 0,2 &\cdots &\cdots\\ \cdots &0,15 &\cdots\\ \end{pmatrix}$
   Rappel cours

   Matrice de transition d'un graphe probabiliste
   La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

   Solution

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3. Une seule des trois matrices $Q$ ,$R$,et $T$ ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable.
   $Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$
   $ R = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\end{pmatrix} $
   $ T = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}$
   Le président de l'association affirme que 50% des adhérents choisiront après un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?
   Rappel cours

   État stable ou chaîne de Markov stationnaire
   On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.

   Aide

   Il faut calculer $Q\times M$, $R\times M$ et $T\times M$

   Solution

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