Limite infinie
Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$

Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$

1. Conjecture
Lorsque $n$ est infiniment grand, on a $n^2$ infiniment grand
donc on peut conjecturer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
2. On veut $u_n >A$ soit $n^2+2>A$
$n^2+2 >A \Longleftrightarrow n^2> A-2$
On suppose $A >2$ et donc $A-2>0$ donc $n> \sqrt{A-2}$
On choisit $N$ tel que $N$ soit le plus petit entier strictement supérieur à $\sqrt{A-2}$.
et et donc pour tout réel $A >2$ on a $u_n> A$ pour tout $n\geq N$.
3. Quelque soit le réel $A>2$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geq N$ on a $u_n>A$
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$

Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$

1. Conjecture
Lorsque $n$ est infiniment grand, on a $n-5$ infiniment grand
donc on peut conjecturer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
2. On veut $u_n >A$ soit $\dfrac{n-5}{3}>A$
$\dfrac{n-5}{3} >A \Longleftrightarrow n-5> 3A \Longleftrightarrow n> 3A+5$
donc $n> 3A+5$
On choisit $N$ tel que $N$ soit le plus petit entier strictement supérieur à $3A+5$.
et et donc pour tout réel $A >0$ on a $u_n> A$ pour tout $n\geq N$.
3. Quelque soit le réel $A>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geq N$ on a $u_n>A$
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$