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Contenu
Théorème de la médiane
Produit scalaire dans un triangle avec les longueurs des côtés
Ressources associées et exercices semblables
Recherche d’un ensemble de points (réf 0783)
exercice
Aide mémoire les différentes expressions du produit scalaire (réf 0805)
mémo
- $ABC$ est un triangle tel que $AB=8$cm, $AC=5$cm et $BC=7$cm.
On note $I$ le milieu de $[AB]$.
Calculer la distance $CI$.
Rappel cours
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
Théorème de la médiane
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$Aide
On utilise le théorème de la médiane, le point $C$ jouant le rôle du point $M$
On calcule $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ en utilisant les longueurs des côtésSolution
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INSCRIPTION - $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm, $AC=8$cm et $BC=9$cm.
On note $I$ le milieu de $[BC]$.
Calculer la distance $AI$.Aide
On utilise le théorème de la médiane.le point $A$ jouant le rôle du point $M$
Solution
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