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Contenu
Produit scalaire avec les normes
Calcul du troisième côté connaissant deux longueurs et un angle
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Fiche méthode calculs de longueurs et d’angles dans un triangle (réf 0804)
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Vidéo de l’exercice
- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=5$cm et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$
Calculer $BC$Rappel cours
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$Aide
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$
Utiliser le rappel de cours ci dessus en calculant $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$Solution
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Infos abonnements - $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=2\sqrt{13}$cm et $\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{3}$
Calculer $BC$Rappel cours
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Aide
L'angle donné est l'angle de sommet $B$ donc il faut utiliser le produit scalaire des vecteurs $ \overrightarrow{BA}$ et $ \overrightarrow{BC}$
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{ABC}$
Exprimer ensuite $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en fonction des distances $AB$, $AC$ et $BC$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$Solution
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