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Contenu
Utiliser les différentes expressions du produit scalaire
Montrer que deux droites sont orthogonales avec le produit scalaire
Ressources associées et exercices semblables
Devoir fin de chapitre produit scalaire (réf 0802)
devoir
Devoir fin de chapitre produit scalaire (réf 0803)
devoir
Aide mémoire complet produit scalaire et vecteurs (réf 0806)
mémo
Rappel cours
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
Solution
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Rappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)
Aide
On peut utiliser le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
Solution
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Aide
On peut utiliser le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
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Aide
$\widehat{BAC}=180$ degrés
Solution
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- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6~cm$, $AC=4~cm$ et $BC=7~cm$.
Rappel cours
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$Solution
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Infos abonnements- $A(2;4)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-2)$ dans un rep\`ere orthonormé.
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Solution
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Infos abonnementsExercice 3 (1,5 points)Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux et $||\overrightarrow{u}||=3$ et $||\overrightarrow{v}||=4$
Calculer $(2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$Rappel cours
Carré scalaire
$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Aide
Développer l'expression et calculer ensuite avec les carrés sclaires
Solution
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Infos abonnementsExercice 4 (3 points)$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=4$cm, $AD=2$cm
Les points $I$et $J$ sont tels que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $J$ milieu de $[CD]$
Faire une figure et montrer que les droites $(IJ)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.Aide
Méthode vectorielle: On peut exprimer les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ puis calculer le produit scalaire $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{BD}$ en utilisant ces décompositions
Méthode analytique: On peut utiliser les coordonnées des points $I$, $J$, $B$ et $D$ dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AI};\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD})$Solution
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Infos abonnements - $A(2;4)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-2)$ dans un rep\`ere orthonormé.