Devoir équations et problèmes (réf 0126) Chapitre 2 calculs et équations, MATHÉMATIQUES SECONDE, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

$-3$ est-il une solution de l'équation $x^3-3x^2+2x+5=0$?

Rappel cours

Aide

Il faut vérifier que l'égalité est vraie en remplaçant $x$ par $-3$

Solution

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$\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)$.

Aide

On peut commencer par réduire au même dénominateur pour se débarrasser des fractions

Solution

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$(4x+3)(3x-2)=(7-3x)(4x+3)$

Rappel cours

Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$

Aide

Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puir factoriser

Solution

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$(x-2)^2=6$

Solution

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$4x^2-9=(2x+3)(x+2)$

Rappel cours

Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Aide

On peut faire apparaître un facteur commun en utilisant la troisième identité remarquable pour factoriser $4x^2-9$

Solution

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$x^3+2x-3(x^2+2)=0$

Aide

On peut mettre un facteur commun en évidence en factorisant d'abord $x^3+2x$

Solution

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$\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}$

Rappel cours

Quotients égaux
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)

Aide

Chercher d'abord les valeurs interdites
On peut ensuite utiliser les produits en croix égaux

Solution

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Exercice 2 (5 points)

On considère l'équation $(E)$: $x^3-7x^2+15x-9=0$

Montrer que pour tout réel $x$, on a $x^3-7x^2+15x-9=(x-1)(x^2-6x+9)$

Aide

Il faut développer l'expression $(x-1)(x^2-6x+9)$

Solution

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En déduire les solutions de l'équation $(E)$.

Aide

Il faut utiliser la forme factorisée

Solution

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Exercice 3 (5 points)

Un automobiliste roule à la vitesse constante de 60kmh$ ^{-1}$ pendant la première partie de son parcours puis à 120kmh$^{-1}$ sur l'autoroute pendant la seconde partie du parcours.
Il met alors 2h pour parcourir 150km.
Quelle distance a-il parcourue sur l'autoroute (seconde partie de son parcours)?

Aide

Rappel: $d=v\times t$ ou $t=\dfrac{d}{v}$
On note $x$ la distance, en km, parcourue sur l'autoroute et la distance parcourue pendant la première partie de son parcours est $150-x$

Solution

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