Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace Séquence 3 produit scalaire dans l'espace

Utilisation d’un repère dans un cube pour justifier l’orthogonalité de deux droites (réf 1269)

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Contenu

Coordonnées dans l’espace avec un repère dans un cube

Calcul du produit scalaire pour justifier que deux droites sont orthogonales

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Utilisation d’un repère dans un cube pour calculer l’angle entre deux droites (réf 1270)
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Vidéo de l’exercice

$ABCDEFGH$ est un cube(figure ci-dessous).
repère de l'space dans un cube

Donner les coordonnées des sommets du cube dans le repère $(A;B;D;E)$?
Quelle est la nature de ce repère?

Aide

$(AB)$ est l'axe des abscisses et $B(1;0;0)$...
Les côtés $[AB]$, $[AD]$ et $[AE]$ sont orthogonaux deux à deux et de même longueur.

Solution

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Calculer les coordonnées de $P$ milieu de $[HF]$.

Rappel cours

Coordonnées du milieu
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

Solution

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Les droites $(AP)$ et $(HF)$ sont-elles orthogonales?

Rappel cours

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

On peut calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{HF}$

Solution

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Les droites $(AP)$ et $(EC)$ sont-elles orthogonales?

Aide

On peut calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{EC}$

Solution

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