On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AB=8$ et $AD=4$.
Les points $H$ et $K$ sont les projetés othogonaux respectivement des points $A$ et $C$ sur $(BD)$.

Construire le rectangle $ABCD$ et les points $H$ et $K$.

Rappel cours

Projeté orthogonal d'un point $M$ sur la droite $(d)$
$H$ est le projeté orthogonal d'un point $M$ sur la droite $(d)$ si $(MH)\perp (d)$ et $H\in (d)$

Solution

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Exprimer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$ en fonction de $HK$

Rappel cours

Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)

Aide

On peut décomposer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$

Solution

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En utilisant $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$, calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$.
En déduire la distance $HK$.

Aide

Utiliser la décomposition du vecteur donnée et développer l'expression.
Utiliser ensuite les projetés orthogonaux de $A$ sur $(CD)$ et de $B$ sur $(CD)$

Solution

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