Une grande entreprise dispose d'une base de données avec les 10 000 adresses de ses clients.
Dans cette liste d'adresses, 200 sont erronées mais on ne sait pas lesquelles.
Cette entreprise décide d'envoyer d'envoyer une publicité à 50 de ses clients choisis au hasard parmi les 10 000.

Expliquer rapidement pourquoi on peut assimiler le tirage des 50 adresses au hasard à des tirages successifs avec remise.

Aide

Si le nombre d'éléments $n$ est très grand, les probabilités d'obtenir une adresse erronée parmi les $n$ éléments ou parmi $n-1$ éléments sont sensiblement égales.

Solution

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En justifiant soigneusement la variable aléatoire choisie et la loi de probabilité de celle-ci, calculer la probabilités que les 50 adresses soient correctes.

Rappel cours

Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$

Aide

identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.
préciser la variable aléatoire à utiliser pour répondre à la question puis les paramètres de la loi binomiale suivie par cette variable aléatoire.

Solution

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Calculer la probabilité que 2 adresses sur les 50 soient erronées

Aide

Si deux adresses sont incorrectes, on a $X=2$

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Calculer la probabilité que moins de 5 adresses (cinq ou moins de 5) sur les 50 soient erronées.

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Si 5 adresses ou moins sont incorrectes parmi les 50, on a $X \leq 5$

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Si on effectue un tirage de 50 adresses parmi les 10 000 un grand nombre de fois, quel sera en moyenne le nombre d'adresses incorrectes parmi ces 50.

Rappel cours

Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$

Aide

Il faut calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$

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