Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Rappel cours

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} xe^x=0$
Limite d'un produit

Aide

On pose $u(x)=2x=X$ et $v(x)=2xe^{2x}$ et on utilise la limite de la composée $vou(x)=2xe^{2x}$ en $-\infty$

Solution

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Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

Rappel cours

$(e^u)'=u'e^u$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{2x}$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)-3$

Solution

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En déduire le nombre de solution de l'équation $f(x)=0$

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

Il faut séparer les cas $x < \dfrac{-1}{2}$ et $x > \dfrac{-1}{2}$

Solution

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Donner la valeur arrondie de(s) la solution(s) de l'équation $f(x)=0$ aux dixièmes.

Aide

Il faut encadrer aux centièmes pour arrondir aux dixièmes

Solution

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